第21讲：《二重积分的极坐标计算法》内容小结、课件与典型例题与练习
一、极坐标系中区域的类型
以下命名方式借用直角坐标系中平面区域的命名方式，以变量命名。
1、θ-型区域
设平面区域 夹在两条射线
之间. 如果任取 ，以极点 为起点做射线穿过区域，射线与区域的边界曲线的交点不多于两个，则把该区域称为 型区域，如下图中展示的两个区域都为 型区域.
内、外边界曲线 关于变量 变量的表达式即为对应的 的取值范围，入点 为左端点，出点为右端点 ，即
因此，为获得 变量的取值范围，需要将区域的内、外边界线描述为极角 变量的函数关系式。
2、ρ-型区域
设平面区域 夹在两个以极点为圆心的同心圆
内。如果任取 ，以极点 为圆心做圆弧逆时钟穿过区域，圆弧与区域的边界曲线的交点不多于两个，则把该区域称为 型区域. 如下图.
变量的取值范围一般为 变量函数关系式，它通过在 变量的取值范围内任取一个极径值做以极点为圆心的圆逆时钟穿过区域，其中圆进入区域的位置，即圆与区域边界曲线的交点（入点）极角的取值 为极径变量取值区间的左端点，圆弧穿出区域，与边界曲线的交点（出点）极角的取值 为变量取值区间的右端点，即
【注】 对于复杂的极坐标系中的区域，则可以通过相应的一些极径圆与射线将它们分割成简单 型区域或 型区域的并.
二、二重积分极坐标计算方法适用的问题类型
适用问题类型：二重积分的被积函数由
描述或包含有相应项，积分区域由射线、圆弧等围成；或者一些其它在直角坐标系下不能进行有效计算的二重积分，可以考虑极坐标方法来计算二重积分。
三、二重积分的极坐标计算方法思路与步骤
第一步：直角坐标系下画图
画确定积分区域的各边界曲线，根据题意确定区域.
第二步：简化计算
判断积分区域整体，或者经过分割后的部分是否关于坐标轴、原点或 直线对称、判断被积函数整体，或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性，借助偶倍奇零与轮换对称性化简计算.
第三步：确定坐标系
确定使用极坐标计算二重积分，根据被积函数特征：如包含、或 描述或包含相应项；积分区域的特征：由射线、圆弧等围成；或者积分在直角坐标系下不能进行有效计算.
第四步：转换描述
借助直角坐标与极坐标的关系：， 转换被积函数表达式与积分区域边界曲线描述形式用极坐标表述.
第五步：确定积分区域类型
根据积分区域图形与被积函数结构特征，确定最终需要计算的积分区域的类型：简单 型或简单 型，并根据类型将边界曲线描述为相应型变量的函数表达式，如 型，则应该将边界曲线方程描述为 变量的函数；如果不是则分割积分区域.
第六步：扫描求型限
对于简单 型，用 正半轴（极轴）逆时钟扫描；对于简单 型，从 开始，以极点为圆心，半径逐渐增大的同心圆扫描，确定型变量的范围：常值区间.
【注】 极角 的最大取值范围一般取为 ，也可以取为 ；极径 的最大取值范围则为 .
第七步：画线定余限
在型变量的取值范围内，做射线穿过积分区域，或以极点为圆心的圆逆时钟穿过区域，入点为下限，出点为上限：上下限一般为型变量的函数表达式或者直接为常值.
第八步：余变先积分，最后积型变
特别注意，被积函数除了被积函数转换成的表达式外，还要多乘以一个 ，即有
对于二重积分直角坐标系下的计算一般思路与交换积分次序的详细过程与实例分析，可以参考课件中给出的例题的参考解答过程，也可以参见视频课堂课程中的“交换积分累次积分次序的基本思路与方法”章节的详细分析与讨论。另外在中也对二重积分的一般计算思路与方法结合典型题进行了详细的分析与探讨。
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二重积分的一般计算思路与方法
●二重积分计算的换元法及实例解析
●二重积分计算一般思路与步骤分析
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参考课件
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